Gerade Pyramiden
Eine Pyramide wird als gerade Pyramide bezeichnet, wenn die Strecke [MS] senkrecht zur Grundfläche verläuft.
Die Pyramiden werden anhand ihrer Grundfläche klassifiziert. Wähle eine Pyramide aus:
Formeln
- Volumen
- \(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\)
- Mantel
- \(M\) = Summe der drei Seitendreiecke
- Oberfläche
- \(O = G + M\)
\(G\) ist der Flächeninhalt des Grunddreiecks, \(h = \overline{MS}\) die Höhe der Pyramide.
Ein Tetraeder ist eine Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken.
Formeln
- Höhe
- \(h = \dfrac{a}{3} \cdot \sqrt{6}\)
- Volumen
- \(V = \dfrac{a^3}{12} \cdot \sqrt{2}\)
- Oberfläche
- \(O = 4 \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot \sqrt{3} = a^2 \cdot \sqrt{3}\)
Formeln
- Grundfläche
- \(G = a^2\)
- Volumen
- \(V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\)
- Mantel
- \(M = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = 2 \cdot a \cdot h_a\)
- Oberfläche
- \(O = a^2 + 2 \cdot a \cdot h_a\)
- Seitenhöhe
- \(h_a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\)
Die Seitenhöhe \(h_a\) berechnest du mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck aus \(h\) und der halben Grundkante.
Formeln
- Grundfläche
- \(G = a \cdot b\)
- Volumen
- \(V = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h\)
- Mantel
- \(M = a \cdot h_a + b \cdot h_b\)
- Oberfläche
- \(O = a \cdot b + a \cdot h_a + b \cdot h_b\)
- Seitenhöhen
- \(h_a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2}\) und \(h_b = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\)
Je zwei gegenüberliegende Seitendreiecke sind gleich groß: zwei mit der Grundseite \(a\), zwei mit der Grundseite \(b\).
Der Kegel
Der Kegel hat starke Ähnlichkeiten mit einer Pyramide. Man könnte ihn auch als eine Pyramide mit unendlich vielen Ecken bezeichnen.
Erhöhe die Anzahl der Ecken. Ganz rechts am Regler wird aus der Pyramide ein Kegel. Deshalb gilt für beide dieselbe Volumenformel \(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\).
Formeln
- Grundfläche
- \(G = \pi \cdot r^2\)
- Volumen
- \(V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\)
- Mantel
- \(M = \pi \cdot r \cdot s\)
- Oberfläche
- \(O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot r \cdot (r + s)\)
- Mantellinie
- \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\)
Netze
Beim Netz eines Körpers hängen alle Flächenstücke zusammen. Mit dem Regler klappst du den Körper auf. Die Fläche des Netzes ist die Oberfläche des Körpers.
Das Netz besteht aus einem Quadrat (Grundfläche) und vier gleichschenkligen Dreiecken (Mantel).
- ein Dreieck
- \(A_\triangle = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\)
- Mantel
- \(M = 4 \cdot A_\triangle = 2 \cdot a \cdot h_a\)
- Oberfläche
- \(O = a^2 + 2 \cdot a \cdot h_a\)
Der Kegelmantel ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius \(s\). Sein Bogen ist genau so lang wie der Umfang der Grundfläche.
- Winkel
- \(\varphi = \dfrac{r}{s} \cdot 360^\circ\)
- Bogen
- \(u = 2 \cdot \pi \cdot r\)
- Mantel
- \(M = \dfrac{\varphi}{360^\circ} \cdot \pi \cdot s^2 = \pi \cdot r \cdot s\)
- Oberfläche
- \(O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\)
Mit den Reglerwerten:
Formeln im Überblick
| Körper | Volumen | Mantel | Oberfläche |
|---|---|---|---|
| Pyramide allgemein | \(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\) | \(M\) = Summe der Seitenflächen | \(O = G + M\) |
| quadratische Pyramide | \(V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\) | \(M = 2 \cdot a \cdot h_a\) | \(O = a^2 + 2 \cdot a \cdot h_a\) |
| rechteckige Pyramide | \(V = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h\) | \(M = a \cdot h_a + b \cdot h_b\) | \(O = a \cdot b + M\) |
| Tetraeder | \(V = \dfrac{a^3}{12} \cdot \sqrt{2}\) | – | \(O = a^2 \cdot \sqrt{3}\) |
| Kegel | \(V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\) | \(M = \pi \cdot r \cdot s\) | \(O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\) |
Rechner
Wähle einen Körper, gib die Maße ein und sieh dir den Rechenweg an.